2013年1月19日土曜日

xy平面のトリック

xy平面のトリック


これは失敗の記録である。

20130119 の未明 2つ目。1つ目が失敗し、だがこれも失敗。




等速直線運動する列車の床と天井を行き来する光時計。
ほとんど光速で列車が移動すると光子軌跡は、y=x。

右に1、左に1の対角線は√2。 1.4以上。

この場合、光速は1以上になってはいけないはずだから、
どうのこうの。

床と天井を30万キロメートルにして単位1としています。















光子の軌跡だけを描いたもの。
1秒後に光子は(1,1)に到着。

この図は物理空間のどこから見たものでしょうか。
立ち位置が描かれていません。

アナログ時計を埋め込んでみます。

















xy座標面のどこもいま午後3時です。


プラネタリウム半球ドーム天井に埋め込まれたものなら、
半球底面中心で、同時刻映像が味わえます。

天井の各点から半球底面中心までが等しい長さだからです。


球を描いてみました。



















上半分をプラネタリウムドームと見立てることができます。

半球底面中心に立ち位置を取ると、ドーム天井のどこからも
光子が速度一定でやってきます。

半径を30万キロメートルとすれば、ドーム表面事象は
1秒後に映像として目に入ってくる感じです。



次に赤道に接する円筒を描きます。















図、上を北極。下を南極とします。
球内空間の線分、北極と南極を結ぶ線分に平行な直線で
円筒はできています。

北極南極直径線分をそのまま赤道上に平行移動します。
画面間裏側をグリニッジ子午線とします。

画面向こうの左側が、東経90度から0度。
画面向こうの右側が、西経0度から90度。

E90 E{0}W 90W


今度は赤道に立ち位置を取りましょう。



グリニッジ子午線と赤道の交わる点に接する平面を
イメージします。その点を立ち位置にしましょう。

この球に点で接する平面。
そこが立ち位置をになり、この平面に
立ち位置を中心に円を描きます。


赤道上、東経90度交点と西経90度交点を横x軸とし、
北極南極を結ぶ直径を縦y軸とする 
この xy平面に対して、

「グリニッジ子午線と赤道」交点に接する平面は、

画面奥行き方向、30万キロメートル奥ということになります。

この画面奥にある平面。
その平面と円筒が接してできる線分が、
球の直径と同じ長さです。

この直径線分、上半分。北半球側を光時計にします。
光時計床、赤道上が立ち位置となります。
立ち位置から上へ1で、光時計天井。

画面こちら側からは、
球中心と北極を結ぶ線分と
赤道上に光時計床部分を持つ線分が 

見かけ重なります。

円筒が回転することによって
この円筒にできた線分はグリニッジ子午線赤道交点から
西経90度交点、画面右側の球に接する縦線分に移動します。

するとどうでしょう、画面正面から見ると、
奥にあったときも、右側にきたときも、長さ変わりませんが、

見かけが、光時計天井と球中心を結ぶ正面見かけ長さが、

奥のとき、球中心から 1である30万キロメートル。球半径。
右のとき、球中心から √2である√2x30万キロメートル。
正方形の対角線になってるではありませんか。

立ち位置と事象を結ぶ直線上を確かに光子は光速単位1、
秒速30万キロメートルで移動というか事象映像情報を
ボールのような空間移動ではないですが、
二重スリットを考えれば、
進んでいます。


ところが事象と事象を結ぶ区間を
今回は立方体の対角線、毎秒√3で光子は移動した。

緯度0から北緯度90度相当高さ1。
中心から右へ横に1。
奥から手前に1。

xy平面での正面からの移動は毎秒√2でしたね。
どこから誰が見たのか不明な長さ、立ち位置なしですが。

それに比べたら、立ち位置はこの3次元座標移動したのは、
ちゃんと取り入れてるし、

それだけじゃなく、

2つの立ち位置で整合性取れてる。
球中心の立ち位置でも、
線分移動した光時計床の立ち位置でも。

一般化すれば、n次元の正面からは、
n個ある軸から2つを任意に取り出し、
残りの軸が正面を形成した軸に重なるようにすれば、
見かけ√2の移動になるし、

立ち位置を導入した場合にも、つじつまが合いそうだ。

でも、これはお遊び。あんまり検討してないしね。


それより、なぜ立ち位置2つとも、つじつま合うのか。

基準系に対する慣性系というとき、
いまは、球空間安定イメージした球中心立ち位置と
平面円空間安定イメージした円中心立ち位置で、

どちらにも辻褄が合う線分ができた。

互いに相手側が円筒上で回転していると交換もできる。


立ち位置同士は、互いに相手が回転しているよう
球中心と円中心の立場を交換できる。

立ち位置と事象は直線で結ばれるが、

立ち位置から事象Aと事象Bまでの距離が異なるとき、
イメージ映像が届く時間が異なる。

従来、数学的全能感で、座標面すべての位置で、
情報が瞬時に得れるとしてきたことによって、見過ごされてきた。


立ち位置から座標空間で等距離のものだけが、
立ち位置を含む塊として動かすことができる。

2つの立ち位置が互いに安定した関係をとれる場合、
交換可能。



この場合「2人称の相対性」を図にしたものです。

歯車2つが互いを押し合いながら回転している。
その一方を画面に固定して描くと、
もう一方が廻りだす非対称性。

しかし交換可能。






「3人称の相対性」を図にすれば、
対象となった両者が回転する。

「歯車の歯」と「歯車の歯」が互いを押し合ってるところを
クローズアップすれば、その現場が画面中央から移動しないに
相当するもの。




















 



@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

こっから下は文章を書くため言語脳を使った為、
論理が、表面で整合性とろうと、失敗したもの。

失敗残しとかないと、次回復するのが遅れるんで。























光時計の柱緑と光子位置を描いたもの。
1秒後に光時計天井は横に1移動。
1秒後に光時計床は横に1移動。
















xy座標の整数格子にあたるところに看板が立ってます。
(1,0)にも(1,1)にも。

ついでにアナログ時計もついてます。

原点Oを立ち位置にします。

(1,0)光時計床到着情報が t=2に到着。

(1,1)光時計天井&光子到着情報が t=1+√2に到着。


お手紙映像は旅をしてきたので、旅行時間を経路別に算出。
引いてあげます。

どちらも、お手紙を発送した時刻は t=1と計算できました。

お手紙を開封したら写真が入っていました。

到着した瞬間の番地看板とアナログ時計時刻と
光時計床と光時計天井&光子が写っていました。

どちらの写真もアナログ時計の時刻は t=1でした。

原点Oで計算した t=1は正解でした。
また、天井と床の手紙到着時刻差は、(√2-1)秒。


(x,y)=(0,1)を立ち位置にするとで
(1,1)から手紙を受け取ります。
天井と床の手紙到着時刻差は、1秒。
















3次元空間の点にピンホールカメラのファインダー、極小穴を
置いたら、平面に並べたアナログ時計の針角度は同じ向きに
ならない。

平面上のどの点からも等距離になる点が、
3次元空間には存在しない。

数学者の眼に画面上みっしり描かれた
アナログ時計の針角度が同じ向きにみえるように、

物理学者の特殊な立ち位置、現実空間外立ち位置に、
同じような効果を作ってみましょう。



定義により光子は空間中を最大速度1で動く。
それは守ったまま、座標空間を曲げます。

xy平面を曲げることで、現実でない仮想空間を加えます。







原点O(0,0)と(1,0)、(-1,0)から
同じだけ離れた虚数原点( i )をイメージします。

原点O(0,0)が原点O(0,0,1)になり、
虚数原点(i)が(0,0,0)になります。






































物理空間の立ち位置を原点Oにします。

これを両腕を肩の高さにし、正面へ軽く伸ばし、
指を交互に絡ませ組んだ両手で表象します。
(0,0,1) 出発前の光時計床に相当します。
組んだ両手から y軸 1上が、出発前光時計天井位置。


首のあたりが虚数原点(i)(0,0,0)です。
物理学者が異なる系、基準系とか慣性系を同時に
考察することができる特殊な view point です。






















いま注目しているのは光時計床天井を結ぶ線分です。
xy平面(曲率0)を移動するのがノーマルな座標。

そこに曲率を与えて、円柱を半分に切った円筒ができました。

半円柱円弧に平面が接してできる線分が光時計です。


イメージの世界で光時計にアナログ時計を埋め込みます。
床から天井までギッシリ。

針は、0.25秒で90度回転とします。1秒で1回転。



虚数原点(i)(0,0,0)と他の点との関係を確認しましょう。
y=0の高さに注目します。

xy平面だけを見ている人は、そこに曲率があることを
知りません。

y=0では、ただの x軸があるだけ。

t=0 出発。光時計床部分であり x軸正方向へ走る光子。
t=1 (1,0,0)に到着。

数学者ならリアルタイムで瞬間に情報摂取。
物理学者は、x軸を走った光時計床部分、または光子が
走った情報が、どれも等しく虚数空間1秒相当距離移動して、

情報が虚数原点(i)(0,0,0) に辿り着きます。

x軸はどこも虚数原点(i)(0,0,0)から等距離。
ここを旅する時間を「等時」と呼称します。

なぜこんなものが必要なのでしょうか。

x軸を光子が通過した後の線分が燃え続けるとします。
x軸に稠密に、でも、トビトビに、油か火薬が常に供給されいる
とでも思ってください。

数学者は瞬間に、x軸線分の光景を思い描けますが、
物理学者は各点からの情報が立ち位置に集まって、
はじめてこの光景を再生できるわけです。

情報がすぐに手に入る近いところと
情報がすぐには手に入らない遠いところを
同期させたいわけです。

線分各点の時刻情報がバラバラだと、因果関係が掴めません。

次に、再生したときのことを考えてみましょう。
いま、座標に時間軸を導入していませんが、
導入した場合は、ミンコフスキーの時空を斜め45度に進む
光子も再現できます。またのちほど。




物理空間の立ち位置、原点O(0,0,1)では再現できなかった
x軸での同時事象群が虚数空間の距離を等しくしたことで、
リアル感がでただけでなく、

基準系に対する慣性系とはなにかという問いに答える為です。
それは相対性概念そのものへの答えとなります。

物理空間と謂われるものが一塊の存在としてではなく、

化学者(ばけがくしゃ)がフラスコに薬品をいくつか入れて
調合するように、

部分空間イメージ同時性を持つものが想定した空間が、
それを思い描いたものの基準系となるのです。

まずここでは原点Oから動かない光時計をイメージします。
このイメージを持った者は、
光時計が床(0,0,1)ー天井(0,1,1)にあり続け、
光子がこの物理線分空間を移動すると思い込みます。

同時刻同時間に、
光時計が床(1,0,0)-天井(1,1,0)に
光子がこの物理線分空間を移動すると思い込む者がいます。


この場合、2箇所に別々の光時計があることになります。

軽く正面に伸ばした両腕の先の、
組んだ両手を肩の高さから上に、そして戻す。を、やれば、
正面、原点Oでの光子の往復運動が再現できます。

同じように今度は、組んだ両手を、肩幅右延長でやれば、
ここでも再現できます。このとき首も回転させて右に向ければ、
物理空間の立ち位置を変更したことになります。

ここを原点Oにすれば、元の原点Oは、x=-1に座標書き換え。

立ち位置、正面に見えるところは首回転で1つに絞れます。


次に、組んだ両手を上下、
この場合は下から上へ1回だけですが、
身体も首も正面に向けたまま、
組んだ両手を上げながら右回転。

慣性系内の光時計床から天井に移動する光子が再現できます。
身体と首が正面ですから、基準系からこの光子が移動しているを
知る感じです。

ここで身体はそのままで
首を同時に組んだ両手と回転させましょう。
慣性系内で光子真っ直ぐ上がっていくのを感じながら、
1秒後に、物理空間の光時計床にいたまま、
物理空間のx=1に到着します。


ややこしいんで次数を下げますが、その前に、

身体正面を部屋に対して回転させるのが、
x軸数直線のどこを y軸にするかの選択。

組んだ両腕先が身体に対し回転しながら正面に見続けるのが
ロケットの「中の人」。
組んだ両腕先が




















グリニッジ子午線が正面縦線に見えるよな、
宇宙空間みたいなところから、
xy平面にできた半球ドームを見る。


今度は、xy平面を机の上において半球ドームを見る。


光時計も1つだけじゃなく、x軸に線対称なのを追加。
(0,-1)から(0,1)に光時計が2つ繋がって、
光子は第1象限で動くのと第4象限で動く。

それをもう1セット作って、x軸マイナス方向に動かす。
さらにもう1セット追加して、これは y軸においたまま。














次数を下げますよ。x軸線分区間[-1~+1]から
等距離な点を存在させる。
















方眼紙に描かれた xy座標なら円筒状に曲げられる。
肩幅あるけど無視して、両腕を肩の高さで、前へならえしてから
左右に拡げて肩幅延長上に伸ばす。

円柱を縦に半分にしたものができた。

円弧のところを平面と接触させると線分ができる。
これが光時計の床と天井を結ぶ線分。









y軸方向もやっちゃえば、半球ができる。
この場合、緯度線が縄跳びしてる感じになる。

光時計を床から地下にも伸ばす。
北緯0度から90度円弧と
南緯0度から90度円弧。

2つ合わせてグリニッジ子午線


さらに、光時計を右方向だけでなく
同時に左方向にも出発させる。
グリニッジ天文台を通る経線が、
東西に90度移動する、開くイメージ。







原点Oに立ち位置を取り、 t=1に各地から映像手紙を
受け取る。

原点Oから1離れたとこの映像情報が t=1に届いた。